剛體上各點(diǎn)都在以某一定點(diǎn)為球心的球面上運(yùn)動(dòng)。

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有一點(diǎn)永遠(yuǎn)保持不動(dòng)。我們可取這個(gè)固定點(diǎn)為上述兩個(gè)坐標(biāo)系的公共原點(diǎn)，坐標(biāo)軸之間的夾角則可以任一改變�？梢宰C明，在這種情況下，剛體從一個(gè)初位置運(yùn)動(dòng)到任意一個(gè)新位置時(shí)，恒可通過(guò)三個(gè)獨(dú)立的角坐標(biāo)來(lái)表示。設(shè)t=0時(shí)，坐標(biāo)系oxyz和ox.y.z.重合，如圖4.4（a）；在時(shí)刻t，坐標(biāo)系oxyz運(yùn)動(dòng)到一個(gè)新位置，如圖4.4（d）。這個(gè)運(yùn)動(dòng)可以看作三個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)動(dòng)合成。首先，令oxyz平面繞oz.軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度φ，使ox軸達(dá)到圖4.4（d）中oxy平面和ox.y.平面的交線on的位置，變?yōu)閛x‘y’z‘如圖4.4（b）。交線on稱為節(jié)線。其次，使oy’z‘平面繞節(jié)線on轉(zhuǎn)過(guò)角度θ，使坐標(biāo)軸達(dá)到新位置ox“y”z“，使oz”軸和圖4.4（d）中oz軸位置重合。最后，令ox“y”平面繞oz“軸轉(zhuǎn)過(guò)角度φ，使坐標(biāo)軸達(dá)到圖4.4（d）中的最終位置。

上述φθ？三個(gè)角坐標(biāo)稱為歐拉角，φ稱為進(jìn)動(dòng)角，θ稱為章動(dòng)角，？稱為自轉(zhuǎn)角，這三個(gè)角度的變化范圍為：

0≤φ≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2π。

從上面的討論可知，作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體在空間的任一位置可有三個(gè)歐拉角唯一確定，所以三個(gè)歐拉角就是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)。但是這種描述方法不是唯一的。例如我們也可以把剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)看成是轉(zhuǎn)動(dòng)軸oz方向可以任意變化的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。要確定oz軸的方向，可用球坐標(biāo)的余緯角θ和經(jīng)度角φ來(lái)表示，在加上繞軸oz的轉(zhuǎn)角ψ，它們同樣可以唯一的確定剛體在空間的位置，也是廣義坐標(biāo)，這三個(gè)角坐標(biāo)和三個(gè)歐拉角并不完全一樣，其中θ和ψ是一樣的。但兩者的φ并不一樣。